НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

В обычной теории множеств существуют несколько способов задания множества. Одним из них является задание с помощью характеристической функции, определяемой следующим образом. Пусть U - так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в настоящей задаче, например множество всех целых чисел, множество всех гладких функций, заданных на действительной оси, и т.д. В дальнейшем в качестве универсального будет, как правило, использовано множество всех действительных чисел. Характеристическая функция множества A K U - это функция mA , значения которой указывают, является ли x k U элементом множества A:

Особенностью этой функции является бинарный характер ее значений - 1 или 0.

С точки зрения характеристической функции нечеткие множества являются естественным обобщением обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения из отрезка [0, 1]. В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение mA(x) - степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

Более строго, нечетким множеством A называется совокупность пар

" x k U {(x; mA(x))},

где mA - функция принадлежности: mA : U [0, 1]. Пусть, например, U = {a, b, c, d, e}, A = {(a; 0), (b; 0,1), (c; 0,5), (d; 0,9), (e; 1)}. Будем говорить тогда, что элемент a не принадлежит множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом A.

В различных приложениях используются различные функции принадлежности, приведем несколько типичных примеров таких функций для множеств, заданных словесно. Пусть A - множество чисел, близких к 10, тогда можно принять

mA(x) = (1 + k | x - 10 | m)-1, k > 0, m = 3;

в зависимости от требуемой степени близости к 10 показатель степени m может быть взят равным 1, 2, 4 и т.д. Например, для описания множества чисел, очень близких к 10, можно положить m = 4; для множества чисел, не очень далеких от 10, m = 2. Учет более тонких нюансов может быть произведен за счет коэффициента k или использования дробной степени показателя m.

Если B - множество чисел, значительно больших 10, то в качестве функции принадлежности может быть взята функция

Если С - множество чисел, которые не должны значительно выходить за пределы интервала (4, 8), то

mC(x) = (1 + k(x - 6)2)-1, k > 0.

Ясно, что конкретный вид функции принадлежности (и значения входящих в нее параметров) носит в значительной мере субъективный характер. Уменьшить степень этой субъективности можно используя метод экспертных оценок, суть которого состоит в том, что как вид функции принадлежности, так и значения соответствующих параметров являются результатом коллективного творчества группы специалистов в рассматриваемой области - экспертов.

Пусть, например, решается задача определения значения некоторого параметра a. Тогда каждым из n экспертов назначается свое значение этого параметра - a1 , a2 , _, an , эти числа усредняются:

и полученный результат используется в качестве значения параметра a. В соответствии со степенью опытности экспертов им могут быть присвоены веса u1 , u2 , _ _, un , с учетом которых предыдущая формула несколько усложняется:

где u = u1 + u2 + _ + un . Более детально с методом экспертных оценок и другими вариантами его использования можно познакомиться в работе [2].

Коротко остановимся на понятии лингвистической переменной. Не вдаваясь в тонкости, ее можно определить как переменную, значениями (термами) которой являются не числа, а слова или предложения естественного (или формального) языка. Например, лингвистическая переменная "возраст" может принимать следующие значения: очень молодой, молодой, среднего возраста, старый, очень старый и другие - в зависимости от требуемой степени детальности описания. Ясно, что переменная "возраст" будет обычной переменной, если ее значения - точные числа; лингвистической она становится будучи использована в нечетких рассуждениях человека.

Каждому терму лингвистической переменной соответствует определенное нечеткое множество со своей функцией принадлежности, которая описывает совместимость этого терма с различными числовыми значениями. Так, лингвистическому значению "молодой" может соответствовать функция принадлежности, приведенная на рис. 1, б.

Вспомним также известную книгу Г. Остера "Зарядка для хвоста", где попугай и слоненок обсуждают, сколько орехов составляют кучу: один, два, _, пять не куча, семь и больше - куча, а шесть? Функция принадлежности, которая описывает результат их рассуждений, приведена на рис. 1, в. Для наглядности ее график изображен сплошной линией.

Powered by Drupal - Design by artinet