ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

Над нечеткими множествами можно производить различные операции, при этом необходимо определить их так, чтобы в частном случае, когда нечеткое множество является четким (обычным), эти операции переходили в обычные операции теории множеств, то есть операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над обычными множествами. При этом обобщение может быть реализовано различными способами, из-за чего какой-либо операции над обычными множествами может соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств.

Начнем с отношения между множествами. Пусть A и B - нечеткие множества; будем говорить, что A содержится в B, и обозначать A K B, если

" x k U, mA(x) # mB(x).

Например, если A - множество чисел, очень близких к 10, а B - множество чисел, близких к 10, то A K B. Формально это можно проверить используя функции принадлежности, описанные выше. Если A и B - обычные множества, а mA и mB - характеристические функции, то из неравенства (1) следует, что если некоторый элемент x принадлежит A, то есть mA(x) = 1, то он принадлежит и B, поскольку mB(x) = 1. Таким образом, определение (1) корректно в том смысле, что в частном случае оно переходит в известное.

Два нечетких множества A и B равны в том и только том случае, если равны их функции принадлежности.

Объединением нечетких множеств A и B называется нечеткое множество, обозначаемое A > B, функция принадлежности которого определяется следующим образом:

"x k U, mA > B(x) = max {mA(x), mB(x)}.

Пересечение множеств A < B определяется функцией принадлежности

"x k U, mA < B(x) = min {mA(x), mB(x)}.

Дополнение нечеткого множества A имеет функцию принадлежности На рис. 2 приведены функции принадлежности соответствующих множеств.

Алгебраическое произведение множеств A и B - это множество A " B с функцией принадлежности

mA J B(x) = mA(x)mB(x).

Нетрудно проверить, что в случае обычных множеств эта операция переходит в пересечение множеств, которое, таким образом, имеет в теории нечетких множеств два обобщения: алгебраическое произведение и пересечение. Аналогично обстоит дело и с операцией объединения - в теории нечетких множеств ей соответствуют операции объединения и алгебраической суммы A + + B с функцией принадлежности

mA + B(x) = mA(x) + mB(x) - mA(x)mB(x).

Для операций объединения, пересечения и дополнения нечетких множеств остаются справедливыми практически все свойства соответствующих обычных операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Читателю предлагается самостоятельно убедиться в справедливости правил де Моргана.
При этом, однако, и Например, если A - множество целых неотрицательных чисел, не очень далеких от 0, то функция mA может иметь вид

mA = {(0; 1), (1; 1), (2; 1), (3; 0,9), (4; 0,8), _, (9; 0,3), _}.

По определению, - множество целых, не очень близких к 0, и

= {(0; 0), (1; 0), (2; 0), (3; 0,1), (4; 0,2), _, (9; 0,7), _}.

Тогда - множество целых, не очень далеких от 0 и одновременно не очень близких к 0:

= {(0; 0), (1; 0), (2; 0), (3; 0,1), (4; 0,2), _, (9; 0,3), _}.

Операции алгебраического произведения и алгебраической суммы обладают более ограниченным набором свойств, для них не выполняется дистрибутивность, но правила де Моргана остаются в силе: и Другие операции и понятия, связанные с нечеткими множествами, можно найти, например, в [1, 3].

Powered by Drupal - Design by artinet