Отображения множеств. Типы отображений. Композиция. Обратимость отображений

Определение 1.9. Пусть X и Y - множества. Отображением f из множества X в множество Y мы будем называть правило, по которому каждому элементу х множества X ставится в соответствие вполне определенный (единственный) элемент y = f(x) множества Y. Обозначать данное отображение будем f: X → Y.
Заметим, что отображение надо обязательно понимать как набор из трех элементов (X, Y, f), где X и Y - множества, f - закон.
Определение 1.10. Пусть f: X → Y - отображение, А X, В У. Тогда:
1) образом множества А при отображении f называется множество f(A)= {f(x ) | x A};
2) прообразом множества В при отображении f называется множество f -1 (B) = {x X | f(x) B}.
Теорема 1.11. Пусть f : X → Y - отображение; А1, А2 X; B1; B2 Y. Тогда:
1) f(A1 A2) = f(A1) f(A2); 2) f −1(B1 B2) = f −1(B1) f −1(B2);
3) f(A1 ∩ A2) f(A1) ∩ f(A2); 4) f −1(B1 ∩ B2) = f −1(B1) ∩ f −1(B2).
Доказательство. Приведем доказательство утверждений 1) и 3), утверждения 2) и 4) доказываются аналогично 1). Итак, пусть у f(A1 А2). Это равносильно тому, что существует х А1 А2 такой, что f(x) = у, то есть или существует х А1 или существует х А2 с условием у = f(x). Но это равносильно тому, что или у f(A1) или у f(A2), то есть у f(A1) f(A2). Первое утверждение теоремы доказано. Пусть теперь х - произволь ный элемент множества А1 ∩ А2. Тогда элемент х одновременно принадлежит множествам А1 и А2, и следовательно элемент f(x) одновременно принадлежит множествам f(A1) и
f(A2), но по определению это и означает, что f(x) f(A1) ∩ f(A2). Таким образом доказали 3), то есть f(A1 ∩ А2) f(A1) ∩ f(A2). Обратное включение в общем случае неверно, что показывает следующий пример.
Пример. Пусть f: R→R такое отображение, что f(x) = sin x; A1 = [0,π], А2 = [2π,3π]. Тогда
А1 ∩ А2 = Ø, следовательно и f(A1 ∩ А2) = Ø но f(F1) ∩ f(А2) = [0,1] Ø.
Определение 1.12. Отображение f : X → Y называется инъективным, если для любых x1 ≠ x2 из множества X следует, что f(x1) ≠ f(x2).
Определение 1.13. Отображение f : X → Y называется сюрьективным, если для любого элемента у из множества Y существует непустой прообраз, то есть f -1(y )≠ Ø
Определение 1.14. Отображение f : X → Y называется биективным, если оно инъективно и сюръективно.
Примеры.
Отображение f : R → {0,1} такое, что f(n) = (1+(-1)n)/2 является сюръективным, но не инъективным. Заметим, что множество {0,1} обычно обозначают Е2.
1) Отображение f : R → R такое, что f(x) = х2 не является ни инъективным, ни сюръективным.
2) Отображение f : N → N такое, что f(n) = п2 является инъективным, но не сюръективным.
3) Отображение f : R → R такое, что f(x) = х3 является биективным отображением.
Определение 1.15. Пусть f : X → Y, g : Y → Z - отображения, тогда композицией этих отображений называется отображение g о f : X → Z такое, что для любого элемента х из множества X его образ в множестве Z определен следующим образом (g o f)(x) = g(f(x)).
Теорема 1.16 (ассоциативность композиции отображений). Если f : X → Y, g : Y → Z,
h : Z → V — отображения, то справедливо следующее равенство: h о (g о f) = (h о g) о f.
Доказательство. Действительно, для любого х X справедливо:
(h o (g o f))(x) = h((g о f)(x)) = h(g(f(x))), ((h о g) о f)(x) = (h о g)(f(x)) = h(g(f(x))).
Определение 1.17. Тождественным отображением множества X на себя называется отображение eX : X →X такое, что для любого х из множества X выполняется равенство eX(x) = х.
Теорема 1.18. Если f : X →Y - биективное отображение, то существует такое биективное отображение g : Y→X, что:
1) для любого элемента х из множества X вып-ся равенство х = (д о f)(x), то есть g о f = еХ,
2)для любого элемента у из множества Y вып-ся равенство у = (f о д)(у), то есть f о g = еY,
Отображение g в этом случае называют обратным отображением к отображению f и обозначают f -1.
Доказательство. Искомое отображение f : Y → X определим следующим образом: g(у) = х, где х прообраз элемента у в множестве X. Этот прообраз существует и единственен для любого элемента у из множества Y, так как отображение f - биективно. Таким образом отображение g определено, и биективность его очевидна. Из определения отображения g получаем 1) g(f(x)) = х. Аналогично выполняется 2) (f оg)(у)= f(g(y))= f(x) = y

Powered by Drupal - Design by artinet