Кольца. Поля. Определение и примеры Кольцо Zm и кольцо Zp

Определение 2.13. Алгебраическая система (К, +, ∙) с двумя бинарными операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если:
1) (К, +) - абелева группа;
2) {К,∙) - полугруппа;
3) операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения, то есть:
а ∙ (b + с) = а ∙ b + а ∙ с, (b + с) ∙ а = b ∙ а + с ∙ а, Vа, b,с К.
Если в кольце К есть 1 по умножению так, что а ∙ 1 = 1 ∙ а = а для любого элемента а из К, то К называют кольцом с единицей; если операция умножения в кольце К - коммутативна, то есть а∙b = b∙ а для любых элементов а и b из К, то кольцо К называют коммутативным.
Примеры.
1) Алгебраические системы (Z, +, ∙), (Q, +, ∙), (Е, +, ∙) являются коммутативными кольцами с единицей.
2) Алгебраические системы (Matn×n(Z), +, ∙), (Matn×n(Q),+,∙), (Matn×n(R), +, ∙) являются кольцами с 1, но не являются коммутативными кольцами. ( Matn×n(P) - это множество матриц размера п × п над Р).
3)Пусть п - натуральное число. На множестве Z определим отношение эквивалентности:
z1 ~ z2 тогда и только тогда, когда z1 — z2 = п ∙ z для некоторого z Z.
Тогда множество Z разобьется на непересекающиеся классы эквивалентности:
Z = nZ (1 + nZ) ... ((n - 1) + nZ), (m + nZ = {m + nz | z Z}.)
Класс эквивалентности m + nZ обозначим для т {0,1,... ,п — 1}, то есть = m + nZ. Кольцом классов вычетов по модулю п назовем множество Zn={ , ,..., }co следующими операциями сложения и умножения:
Заметим, что операции заданы корректно, так как для любого числа к Z найдется такое число т {0,1,..., п — 1}, что k = nq + m, q Z, следовательно k + nZ = т + nZ = т. Кольцо Zn - это коммутативное кольцо с единицей. Нулем в этом кольце будет элемент , а единицей – эл. .

Определение 2.14. 1) Элемент к ≠ 0 в кольце К называется делителем 0, если в кольце К найдется такой элемент b ≠ 0, что b∙k = 0 или k∙b = 0. 2) Элемент k ≠ 0 в кольце К называется нильпотентным, если kп = 0 для некоторого n N.
Примеры.
1) В кольце Z6 элементы и являются делителями 0, так как .
2) В кольце Z4 элемент является нильпотентным элементом и делителем 0, так как .
Заметим, что в кольце с единицей делители нуля и нильпотентные элементы не могут быть обратимыми.
Определение 2.15. Ненулевое коммутативное кольцо Р с единицей называется полем, если любой его ненулевой элемент - обратим.
Примеры.
1) (Q, +, ∙) - поле рациональных чисел.
2) (R, +, ∙) - поле действительных чисел.
3) (С, +, ∙) - поле комплексных чисел.
4) (Z2, +, ∙) - поле классов вычетов по модулю 2.
Обобщим последний пример.
Теорема 2.16. Кольцо Zn будет полем тогда и только тогда, когда п - простое число.
Доказательство. => Пусть Zn - поле и п = k∙т, где k,т N, k, т ≠ 1, n. Тогда и элемент k не может быть обратим. Действительно, предположив, что существует элемент такой, что , получим
,
то есть и т = п. Итак, если п - составное число, п = k∙т, то элемент - необратим, что противоречит условию: Zn - поле.
<= Пусть р - простое число. Докажем, что Zp - поле. Так как известно, что Zp - коммутативное кольцо с единицей, достаточно доказать, что любой ненулевой элемент в Zp -обратим. Пусть - произвольный элемент из Zp. Так как т < р и р - простое число, то натуральные числа тир- взаимно просты. Тогда, используя алгоритм Евклида, можно найти такие числа a ,b N, что а ∙ т + b∙ р = 1. Следовательно
и элемент т - обратим. Заметим, что единичный элемент всегда обратим.
Без доказательства сформулируем следующую теорему.
Теорема 2.17. Пусть 1 и 0 - единица и нуль поля Р. Тогда либо п ∙ 1 ≠ 0 для любого натурального числа п, либо существует простое натуральное число р такое, что р ∙ 1 = 0. Впервом случае говорят, что поле Р имеет нулевую характеристику и пишут charP = 0; во втором случае, говорят, что поле Р имеет характеристику р и пишут charP = p, в этом случае аддитивная группа, или группа по сложению, порожденная элементом 1, изоморфна полю Zp и состоит из элементов k ∙ 1, k {0,1,... ,р — 1}.

Powered by Drupal - Design by artinet