Теоремы сложения и умножения вероятностей

На основании классического определения вероятностей можно доказать теоремы о вычислении вероятностей сложных событий.
- если событие А является суммой несовместимых событий В и С, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:

P(A) = P(BUC)= P(B) + P(C)

Пример Каждое из трех С несовместимы,
P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,01 + 0,02 + 0,03 = 0,06

Событие, вероятность которого требуется найти в задаче, является противоположным событию Д. Следовательно, искомая вероятность равна:
P = 1 – P(D) = 1 – 0,06 = 0,94.

- если B и C — совместные события, то

P(BUC) = P(B) + P(C) – P(B∩C)
Пример. Найти вероятность вытащить туза или червовую масть при случайном отборе одной карты из колоды в 32 листа.
Р( ТУЗ ) = 4/32 = 1/8; Р( ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ ) = 8/32 = 1/4;
Р( ТУЗ ЧЕРВЕЙ ) = 1/32;
Р(( ТУЗ ) U (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ )) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/32
Два события А и В называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. В случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.
Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что А наступило.
Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет?
Определим пространство элементарных исходов: =(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, что студент вытащил выученный билет: А = (1,...,5,25,...,30,), а событие В — в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В = (1,2,3,...,20)
Событие А∩В состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 - это вероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом решение задачи определяется формулой
P(А∩В) = Р(А/В) Р(B)
Эта формула называется формулой умножения вероятностей , а вероятность Р(А/В) — условной вероятностью события A. Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна вероятности одного события, умноженной на условную вероятность другого события при условии, что первое произошло

Следствие 1. Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий (теорема умножения для независимых событий):
P(A∩B) = P(A) P(B)
Следствие 2. Пусть производится n одинаковых независимых испытаний, при каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Тогда вероятность появления события А хотя бы один раз при этих испытаниях равна 1-(1-р)n.

Powered by Drupal - Design by artinet