Законы распределения дискретных случайных величин

Биномиальный закон распределения
Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ..., n с вероятностями

где 0 < p < 1, q=1-p, m=0, 1, 2, ..., n.
Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа случайного числа X = m наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p.
Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

xi 0 1 2 ... m ... n
pi qn

...
... pn

На рисунке приведены

Математическое ожидание случайной величины X, распределённой по биномиальному закону, M(X)=np, а её дисперсия D(X)=npq.
Пример 1. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую пятую единицу товара денежный приз размером 100 тенге. Найти закон распределения числа сотен тенге, полученных при четырёх сделанных покупках.
Решение. Вероятность того, что в случайно сделанной покупке окажется денежный приз, равна p=1/5=0,2. Случайная величина X - число закон распределения с параметрами n=4 и p=0,2. Ряд распределения X имеет вид:
xi 0 1 2 3 4
pi 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016
значения pi=P(X=m), (m=0, 1, 2, 3, 4) вычислены по формуле

Пример 2. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Определить среднее (прогнозируемое) число договоров которым компании придётся выплатить страховые суммы в связи с наступлением руемое) число договоров, по которым страховая компания выплачивает страховые суммы - математическое ожидание случайной величины X находим по формуле M(X)=np=2000•0,1=200. Меру отклонения числа договоров по которым компания должна будет выплатить страховые суммы от ожидаемого среднего значения (риск компании) можно оценить, определив дисперсию или среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
D(X)=npq=2000•0,1•0,9=180
Таким образом, прогнозируемое число договоров, по которым страховая компания выплатит страховые суммы в связи с наступлением страхового случая, вероятнее всего будет находится пределах диапазона 200±13.

Закон распределения Пуассона
Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

где m=0, 1, 2, ...
Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:
xi 0 1 2 ... m ...
pi


...
...
На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей закон распределения Пуассона с параметром (для =0,5; 1; 2; 3,5; 5).


Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределённой по закону Пуассона, совпадают и равны значению параметра этого закона, т. е.

При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность p события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.
Наряду с "предельным" случаем биномиального распределения закон Пуассона может возникнуть и в ряде других случаев. Так для простейшего потока событий число событий, попадающих на произвольный отрезок времени, есть случайная величина, имеющая пуассоновское распределение. Также по закону Пуассона распределены, например, число рождения четверней, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в "нормальном режиме", число "требований на обслуживание", поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания, и др.

Powered by Drupal - Design by artinet