Непрерывные случайные величины

Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полу¬бесконечными или бесконечными, например: (a; b], (– ; a), [b;), (–; ). При «континуум». Закон распределения для непрерывной случайной величины задается плотностью распределения, ее график – кривая распределения.

Р(х)

Х
Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Если  – непрерывная случайная величина, то равенство  = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что
P(х <  < х + х).
Здесь х – величина малого интервала.
Очевидно, что если х  0, то P(х <  < х + х)  0. Обозначим р(х) предел отношения P(х <  < х + х) к при х  0, если такой предел существует:
(1)
Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Очевидно, что p(x) – неотрицательная
P(a    b) = (2)
Это равенство можно также рассматривать как определение функции р(х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайЕсли все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для р(х) – её плотности распре¬деления справедливо равенство

Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины. Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция р(х), удовлетворяющая двум условиям:
1) р(х)  0;
2)

Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х   и х  –  асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина  примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.

Powered by Drupal - Design by artinet