Точечные оценки параметров распределений

Пусть из генеральной совокупности X, имеющей нормальный закон распределения N(М;σ) с математическим ожиданием М и средним квадратичным отклонением σ, взята случайная выборка, называется точечной оценкой.
Выборочную дисперсию

можно считать точечной оценкой дисперсии D генеральной совокупности.
Приведем еще один пример точечной оценки. Пусть каждый объект генеральной совокупности характеризуется двумя количественными признаками x и y. Можно через равные промежутки времени сопоставлять доходность акций данной корпорации с каким-либо индексом, характеризующим среднюю доходность всего рынка акций. В этом случае генеральная совокупность представляет собой двумерную случайную величину , . Эта случайная величина принимает значения x, y на множестве объектов генеральной совокупности. Не зная закона совместного распределения случайных величин  и , мы не можем говорить о наличии или глубине корреляционной связи между ними, однако некоторые выводы можно сделать, используя выборочный метод.
Выборку объема n в этом случае представим в виде таблицы, где
i-тый отобранный объект (i= 1,2,...n) представлен парой
Выборочный коэффициент корреляции можно рассматривать как точечную оценку коэффициента корреляции , характеризующего генеральную совокупность.
Выборочные параметры зависят от того, какие объекты генеральной совокупности попали в выборку и различаются от выборки к выборке. Поэтому они сами являются случайными величинами.
Пусть выборочный параметр  рассматривается как точечная оценка параметра Θ генеральной совокупности и при этом выполняется равенство
M =Θ.
Такая выборочная оценка называется несмещенной.
Выборочное среднее есть несмещенная точечная оценка математического ожидания интересующей нас случайной величины  , так как математическое ожидание выборочной средней M(X) = Mξ.
Математическое ожидание выборочной дисперсии M(σ2) = (n – 1)Dξ/n
Так как M(2)  D, выборочная дисперсия не является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.
Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности, нужно умножить выборочную дисперсию на . Тогда получится величина , называемая исправленной выборочной дисперсией.

Эффективной называют несмещенную выборочную оценку, обладающую наименьшей дисперсией среди всех возможных несмещенных оценок параметра Θ для данного объема выборки n и функции распределения вероятности F(X,Θ) генеральной совокупности.
Полученная из выборки объема n точечная оценка n параметра Θ генеральной совокупности называется состоятельной, если она сходится по вероятности к Θ.

Powered by Drupal - Design by artinet