Интервальные оценки

При выборке небольшого объема точечная оценка может существенно отличаться от истинного значения параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Поэтому в случае малой выборки часто:

P(1< < 2) =P ((1; 2)) = 

Числа 1 и 2 называются доверительными границами, интервал (1, 2) — доверительным интервалом для параметра . Число  называется доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки. Сначала задается надежность. Обычно ее выбирают равной 0.95, 0.99 или 0.999. Тогда вероятность того, что интересующий нас параметр попал в тоже случаен. Он может покрывать параметр  или нет. Именно в таком смысле нужно понимать случайное событие, заключающееся в том, что доверительный интервал покрывает число .
Правила построения доверительного интервала для математического ожидания зависит от того, известна или не известна дисперсия генеральной совокупности σ2.

а) Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии.
Пусть случайная величина  (для генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия D = 2 ( > 0). Из генеральной совокупности делается выборка объема n. Выборка x1, x2,..., xn рассматривается как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же как  . Так как:
Mxn = M;
Dxn = D;
M;
D /n;
Обозначим неизвестную величину M через a и подберем по заданной надежности  число d > 0 так, чтобы выполнялось условие:
P( – a < d) = 
Осталось подобрать d таким, чтобы выполнялось равенство или .
Для любого  [0;1] можно по таблице найти такое число t, что
( t )=  / 2. Это число t иногда называют квантилем.
Теперь из равенства

определим значение d:
.
Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:
.
Смысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью  доверительный интервал

покрывает неизвестный параметр a = M генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка определяет значение параметра M с точностью d= t / и надежностью .
Задача. значение t из равенства
 (t) =  / 2 = 0,495.
По полученному значению t = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного интервала) d: d = 2,52,58 /  1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (10,76; 13,24).

б)Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
Пусть  – случайная величина, распределенная по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием M, которое обозначим буквой a . Произведем выборку объема n. Определим среднюю выборочную и исправленную выборочную дисперсию s2 по известным формулам.
Случайная величина

распределена по закону Стьюдента с n – 1 степенями свободы.
Задача заключается в том, чтобы по заданной надежности  и по числу степеней свободы n – 1 найти такое число t , чтобы выполнялось равенство
(2)
или эквивалентное равенство
(3) t . Формула (3) дает ответ поставленной задачи.
Задача.
На контрольных испытаниях 20-ти электроламп средняя продолжительность их работы оказалась равной 2000 часов при среднем квадратическом отклонении (рассчитанном как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии), равном 11-ти часам. Известно, что продолжительность работы лампы является нормально распределенной случайной величиной. Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины.
Решение.
Величина 1 –  в данном случае равна 0,05. По таблице распределения Стьюдента, при числе степеней свободы, равном 19, находим: t = 2,093. Вычислим теперь точность оценки: 2,093121/ = 56,6. Отсюда получаем искомый доверительный интервал:
(1943,4; 2056,6).

в)Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения
Пусть случайная величина  распределена по нормальному закону, для которого дисперсия D неизвестна. Требуется оценить эту дисперсию по исправленной выборочной дисперсии и найти доверительный интервал, в который попадает эта оценка с заданной надежностью γ. Делается выборка объема n . Из нее определяется исправленная выборочная дисперсия s2. надежности  можно найти сколько угодно границ 12 и 22 интервалов, таких, что
(*)
Найдем 12 и 22 из следующих условий:

P(2  12) = (1 –  )/ 2 (**)
P(2  22) = (1 –  )/ 2 (***)

Очевидно, что при выполнении двух последних условий справедливо равенство (*).
В таблицах для случайной величины 2 обычно дается решение уравнения P(2 q2) = q . Из такой таблицы по заданной величине q и по числу степеней свободы n – 1 можно определить значение q2. Таким образом, сразу находится значение 22 в формуле (***).
Для определения 12 преобразуем (**):

P(2  12) = 1 – (1 –  )/ 2 = (1 +  )/ 2

Полученное равенство позволяет определить по таблице значение 12.
Теперь, когда найдены значения 12 и 22, представим равенство (*) в виде
.— случайная величина, распределенная по нормальному закону. Было случайным образом выбрано 20 вертолетов, и произведены замеры уровня шума (в децибелах) в каждом из них. Исправленная выборочная дисперсия измерений оказалась равной 22,5. Найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное стандартное отклонение величины шума в кабинах вертолетов данного типа с надежностью 98%.
Решение.
По числу степеней свободы, равному 19, и по вероятности (1 – 0,98)/2 = 0,01 находим из таблицы распределения 2 величину 22 = 36,2. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,98)/2 = 0,99 получаем 12 = 7,63. Используя формулу (****), получаем искомый доверительный интервал: (3,44; 7,49).

Powered by Drupal - Design by artinet