Псевдоспектральные методы моделирования сейсмического волнового поля

С начала 80-х гг. для численного решения уравнений динамиче-ской теории упругости активно используются псевдоспектральные методы [2]. По своей сути данные методы близки к разностным мето-дам – в области решения вводится некоторая сетка, значения выраже-ний в уравнении принимаются постоянными в пределах шага сетки. Различие между методами заключается в способе аппроксимации про-странственных производных. В разностных методах они заменяются алгебраическими комбинациями значений выражений в узлах сетки, в псевдоспектральных - вычисляются с помощью умножения на волно-вое число в области Фурье-преобразований. Например, вычисление выражения U(x)/x в псевдоспектральных методах осуществляется по следующей схеме:
U(x)/x= FT-1 ( ikx FT{ U(x) } ),
где FT и FT-1 – соответственно прямое и обратное преобразования Фу-рье, kx – волновое число в направлении x, i – мнимая единица. Исполь-зование алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) делает псевдоспектральные методы сопоставимыми по скорости вычислений с разностными методами. Ограничения вычислительных мощностей современных компьютеров позволяют использовать псевдоспектраль-ные методы только для решения одно- и двумерных задач.
Основным недостатком псевдоспектральных методов является невозможность явного задания в них граничных условий. Применение разложения в ряд Фурье для вычисления пространственных производ-ных предполагает автоматическое выполнение условий периодичности на границах сетки. Поэтому, с помощью описанной выше схемы вы-числения пространственных производных некорректно решать урав-нения теории упругости в цилиндрических координатах (z, r, ). На оси r=0 становится невозможно задать источник, т.к. вычисление про-изводных по координате r подразумевает выполнение условия U/rr=0 = U/rr=R , где R – граница сетки в направлении r. Учиты-вая это, приведенная выше схема вычислений производных позволяет решать уравнения динамической теории упругости только в плоской постановке.
Эффективный способ устранения условий периодичности при-веден в [3]. Используемая в этой работе методика решения уравнений динамической теории упругости для полуплоскости позволяет при-ближенно описать граничное условие свободной от напряжений по-верхности. Это достигается применением разложения в ряд по поли-номам Чебышева вместо разложения в ряд Фурье при вычислении производных по вертикальным координатам. Использование аппрок-симации полиномами Чебышева приводит к неявному заданию непе-риодических граничных условий на горизонтальных границах сетки.
Решения уравнений динамической теории упругости на плоско-сти не в полной мере характеризуют процесс распространения сейсми-ческих волн в реальных средах, поскольку не описывают расхождения энергии в азимутальных направлениях. Данный недостаток устраняет-ся, если уравнения упругости решать в осесимметричной постановке, а при вычислении производных по координате r вместо разложения в ряд Фурье использовать разложение в ряд по полиномам Чебышева. Получаемый таким образом псевдоспектральный метод решения урав-нений динамической теории упругости для случая осевой симметрии программно реализован автором. Работоспособность метода демонст-рируют результаты тестовых расчетов.
В однородном упругом полупространстве (скорости продоль-ных волн 4.6 км/с, поперечных – 2.7 км/с, плотность среды 2 кг/м3) был задан вертикальный импульсный источник на глубине 10 км. Длитель-ность синусоидального сигнала в источнике составляла 2 с. На рис. 1 изображена дивергентная часть сейсмического волнового поля (коле-бания связанные с изменением объема) в различные моменты времени после излучения сигнала. Метками P и PP обозначены прямая и отра-женная продольные волны, R – волна Рэлея и, наконец, Ph – головная волна и просачивающаяся мода, образующаяся в результате падения на свободную поверхность поперечной волны SV. Сейсмограмма вер-тикальных компонент скоростей смещений для приемников, располо-женных на поверхности с шагом 10 км, приведена на рис.2.
Полученная сейсмограмма правильно описывает изложенные в [1] основные закономерности формирования сейсмического волнового поля для тестовой модели среды.
Библиографический список
1. Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология: теория и методы. Т.1. М.: Мир, 1983. 520 с.
2. Kosloff D., Baysall E. Forward modeling by a Fourier method // Geophysics. 1982. 47. P. 1402-1412.
3. Kosloff D., Kessler D., Filho A. Solution of the equations of dynamic elasticity by a Chebychev spectral method // Geophysics. 1990. 55. P. 734-748.
Рис.1. Дивергентная часть сейсмического волнового поля для тестово-го примера
Рис.2. Синтетическая сейсмограмма вертикальных компонент скоро-стей смещений для тестового примера. Сейсмотрассы нормализованы по максимальной

Powered by Drupal - Design by artinet