Метод наименьших квадратов

На практике мы часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей. Пусть зависимость между двумя переменными х и у выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.
X x1 x2 x3 xi xn
Y y1 y2 y3 представить в виде формулы y = f(х).
Для проверки правильности вывода проводятся дополнительные исследования, т.е. производится еще ряд одновременных измерений величин х и у. Дополнительные точки наносятся на плоскость. Если они оказываются достаточно близкими к выбранной кривой, то можно считать, что вид кривой установлен. В противном случае кривую надо скорректировать и вновь провести дополнительные измерения.
Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции f(x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов невязок δi или отклонений "теоретических" значений f(xi), найденных по эмпирической формуле y=f(x), от соответствующих опытных значении yi, была минимальной т.е.

S = ∑δi2 = ∑(f(xi) – yi)2 → min

Пусть в качестве функции у=f(х) взята
После алгебраических преобразований эта система принимает вид:
a∑xi2 + b∑xi =∑xiyi
a∑xi + nb =∑yi

Эта система уравнений называется системой нормальных уравнений и она имеет единственное решение, так как ее определитель не равен нулю.
Можно доказать, что найденные из этой системы значения a и b дают минимум функции S=S(a;b).

Powered by Drupal - Design by artinet