Основные понятия, связанные с финансовыми операциями

Одно из важнейших свойств денежных потоков – их распре-деленность во времени. При анализе относительно краткосроч-ных периодов (до 1 года) в условиях стабильной экономики дан-ное свойство оказывает незначительное влияние, которым часто пренебрегают. Определяя годовой объем реализации по предпри-ятию, просто складывают суммы выручки за каждый из месяцев отчетного года. Аналогично поступают со всеми остальными де-нежными потоками, что позволяет оперировать их итоговыми значениями. Однако в случае более длительных периодов или в условиях высокой инфляции возникает серьезная проблема обес-

печения сопоставимости данных. Одна и та же номинальная сум-ма денег, полученная предприятием с интервалом в 1 год и более, в таких условиях получает неодинаковую ценность. Очевидно, что 1 млн. руб. в начале 1992 г. был значительно весомее мил-лиона «образца» 1993 и более поздних лет. Как правило, в таких случаях производят корректировку отчетных данных с учетом инфляции. Но проблема не сводится только к учету инфляции. Один из основополагающих принципов финансового менеджмен-та – признание временной ценности денег, т. е. зависимости их реальной стоимости от величины промежутка времени, остающе-гося до их получения или расходования. В экономической теории данное свойство называется положительным временным пред-почтением.
Наряду с инфляционным обесцениванием денег существует еще как минимум три важнейшие причины данного экономиче-ского феномена. Во-первых, «сегодняшние» деньги всегда ценнее «завтрашних» из-за риска неполучения последних, и этот риск будет тем выше, чем больше промежуток времени, отделяющий получателя денег от этого «завтра». Во-вторых, располагая де-нежными средствами «сегодня», экономический субъект может вложить их в какое-нибудь доходное предприятие и заработать прибыль, в то время как получатель будущих денег лишен этой возможности. Расставаясь с деньгами «сегодня» на определенный период времени (допустим, давая их взаймы на 1 месяц), владе-лец не только подвергает себя риску их невозврата, но и несет реальные экономические потери в форме неполученных доходов от инвестирования. Кроме того, снижается его платежеспособ-ность, так как любые обязательства, получаемые им взамен денег, имеют более низкую ликвидность, чем «живые» деньги. Таким образом, возрастает риск потери ликвидности, и это третья при-чина положительного временного предпочтения. Естественно, большинство владельцев денег не согласны бесплатно принимать на себя столь существенные дополнительные риски. Поэтому при предоставлении кредита устанавливают такие условия его воз-врата, которые должны полностью возместить все моральные и материальные неудобства, возникающие у человека, расстающе-гося (пусть даже и временно) с деньгами.
Количественной мерой величины этого возмещения является процентная ставка. С ее помощью может быть определена как будущая стоимость «сегодняшних» денег (например, если их со-бираются ссудить), так и настоящая (современная, текущая, или приведенная) стоимость «завтрашних» денег (например, тех, ко-торыми обещают расплатиться через год после поставки товаров или оказания услуг). В первом случае говорят об операции нара-щения, поэтому будущую стоимость денег часто называют нара-щенной. Во втором случае выполняется дисконтирование, или приведение будущей стоимости к ее современной величине (те-кущему моменту) – отсюда термин дисконтированная – приве-денная, или текущая, стоимость. Операции наращения денег по процентной ставке более просты и понятны, так как с ними при-ходится сталкиваться довольно часто тем, кто берет или дает деньги взаймы. Однако для финансового менеджмента значи-тельно более важное значение имеет дисконтирование денеж-ных потоков, приведение их будущей стоимости к современному моменту времени для обеспечения сопоставимости величины распределенных по времени платежей. В принципе, дисконтиро-вание – это наращение «наоборот», однако для финансовых рас-четов важны детали, поэтому необходимо более подробно рас-смотреть как прямую, так и обратную задачи процентных вычис-лений. Прежде чем рассматривать их применительно к денежным потокам, следует усвоить наиболее элементарные операции с единичными суммами (разовыми платежами).
Процентная ставка показывает степень интенсивности изме-нения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом и измеряется в денежных еди-ницах (например, рублях), обозначаемых I. Если обозначить бу-дущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то
I = S – P. Процентная ставка i – относительная величина, изме-ряемая в десятичных дробях или %, она определяется делением процентов на первоначальную сумму:
. (2.1.1)
Можно заметить, что формула расчета процентной ставки идентична расчету статистического показателя «темп прироста». Действительно, если абсолютная сумма процента (I) представляет собой прирост современной величины, то отношение этого при-роста к самой современной величине и будет темпом прироста перовначальной суммы. Наращение первоначальной суммы по процентной ставке называется декурсивным методом начисле-ния процентов.
Кроме процентной существует учетная ставка d (другое на-звание – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле
, (2.1.2)
где D – сумма дисконта.
Сравнивая формулы (2.1.2) и (2.1.3), можно заметить, что сумма процентов I и величина дисконта D определяются одина-ковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако смысл, вкладываемый в эти термины, не-одинаков. Если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода «наценке», то во втором определяется снижение будущей стоимости, «скидка» с ее величины. (Diskont в переводе с немецкого означает «скидка».) Неудивительно, что основной областью применения учетной ставки является дискон-тирование, процесс, обратный по отношению к начислению про-центов. Тем не менее иногда учетная ставка используется и для наращения. В этом случае говорят об антисипативных процен-тах.
При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые, так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процен-тов – в геометрической. Вначале более подробно рассмотрим операции с простыми процентами.
Начисление простых декурсивных и антисипативных процен-тов производится по различным формулам:
декурсивные проценты
; (2.1.3)
антисипативные проценты
, (2.1.4)
где n – продолжительность ссуды, измеренная в годах.
Для упрощения вычислений вторые сомножители в формулах (2.1.3) и (2.1.4) называются множителями наращения простых процентов: (1 + ni) – множитель наращения декурсивных процен-тов; 1/(1 – nd) – множитель наращения антисипативных процен-тов.
Например, ссуда в размере 1 млн. руб. выдается сроком на 0,5 года под 30 % годовых. В случае декурсивных процентов нара-щенная сумма (Si) будет равна 1,15 млн. руб. (1(1 + 0,5  0,3), а сумма начисленных процентов (I) – 0,15 млн. руб. (1,15 – 1). Если же начислять проценты по антисипативному методу, то наращен-ная величина (Sd) составит 1,176 млн. руб. (1(1/(1 – 0,5  0,3), а сумма процентов (D) – 0,176 млн. руб. Наращение по антисипа-тивному методу всегда происходит более быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки. Поэтому банки ис-пользуют этот метод для начисления процентов по выдаваемым ими ссудам в периоды высокой инфляции. Однако нужно отме-тить существенный недостаток антисипативного метода: как вид-но из формулы (2.1.4), при n = 1/d, знаменатель дроби обращается в нуль и выражение теряет смысл.
Вообще, начисление процентов с использованием ставки, предназначенной для выполнения прямо противоположной опе-рации – дисконтирования, – носит оттенок некой «неестественно-сти» и иногда порождает неразбериху (аналогичную той, которая может возникнуть у розничного торговца, если он перепутает правила определения скидок и наценок на свои товары). С пози-ции математики никакой сложности здесь нет, преобразовав (2.1.1), (2) и (4), получаем
(2.1.5)
Соблюдая это условие, можно получать эквивалентные ре-зультаты, начисляя проценты как по формуле (2.1.3), так и по формуле (2.1.4).
Антисипативным методом начисления процентов обычно пользуются в чисто технических целях, в частности для опреде-ления суммы, дисконтирование которой по заданным учетной ставке и сроку даст искомый результат. В следующем параграфе будут рассмотрены подобные ситуации.
Как правило, процентные ставки устанавливаются в годовом исчислении, поэтому они называются годовыми. Особенность простых процентов в том, что частота процессов наращения в течение года не влияет на результат, т. е. нет никакой разницы – начислять 30 % годовых один раз в год или по 15 % годовых – два раза. Простая ставка 30 % годовых при одном начислении в году называется эквивалентной простой ставке 15 % годовых при начислении один раз в полгода. Данное свойство объясняется тем, что процесс наращения по простой процентной ставке пред-ставляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
a1 = P и разностью d = (P  i).
P, P + (P  i), P + 2(P  i), P + 3(P  i), …, P + (k – 1)(P  i)
Наращенная сумма S есть не что иное, как последний k-й член этой прогрессии (S = ak = P + nPi), срок ссуды n равен k – 1. По-этому, если увеличить n и одновременно пропорционально уменьшить i, то величина каждого члена прогрессии, в том числе и последнего, останется неизменной.
Однако продолжительность ссуды n (или другой финансовой операции, связанной с начислением процентов) необязательно должна равняться году или целому числу лет. Напротив, простые проценты чаще всего используются при краткосрочных (дли-тельностью менее года) операциях. В этом случае возникает про-блема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях бу-квой K (этот показатель называется временной базой), а количе-ство дней пользования ссудой – t, то использованное в формулах (2.1.3) и (2.1.4) обозначение количества полных лет n можно бу-дет выразить как t/K. Подставив это выражение в (2.1.3) и (2.1.4), получим:
для декурсивных процентов
; (2.1.6)
для антисипативных процентов
. (2.1.7)
В различных случаях могут применяться свои способы под-счета числа дней в году (соглашение по подсчету дней). Год мо-жет приниматься равным 365 или 360 дням (12 полных месяцев по 30 дней в каждом). Сложность представляют подсчеты в висо-косный год. Например, обозначение ACT/360 (actual over 360) указывает на то, что длительность года принимается равной
360 дням. Однако возникает вопрос, а как при этом определяется продолжительность ссуды? Например, если кредит выдается 10 марта со сроком возврата 17 июня этого же года, как считать его длительность – по календарю или исходя из предположения, что любой месяц равен 30 дням? Безусловно, в каждом конкрет-ном случае может быть выбран свой оригинальный способ под-счета числа дней, однако на практике выработаны некоторые об-щие принципы, знание которых может помочь сориентироваться в любой конкретной ситуации.
Если временная база (K) принимается равной 365 (366) дням, то проценты называются точными. Если временная база равна 360 дням, то говорят о коммерческих, или обыкновенных, про-центах. В свою очередь подсчет длительности ссуды может быть или приближенным, когда исходят из продолжительности года в 360 дней, или точным – по календарю или по специальной таб-лице номеров дней в году. Определяя приближенную продолжи-тельность ссуды, сначала подсчитывают число полных месяцев и умножают его на 30. Затем добавляют число дней в неполных месяцах. Общим для всех способов подсчета является правило: день выдачи и день возврата кредита считаются за 1 день (назо-вем его граничный день). В приведенном выше условном при-мере точная длительность ссуды составит по календарю 99 дней (21 день в марте + 30 дней в апреле + 31 день в мае + 16 дней в июне + 1 граничный день). Тот же результат будет получен, если использовать таблицу номеров дней в году (10 марта имеет по-рядковый номер 69, а 17 июня – 168). Если же использовать при-ближенный способ подсчета, то длительность ссуды составит 98 дней (21 + 2  30 + 16 + 1).
Наиболее часто встречаются следующие комбинации времен-ной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):
1) точные проценты с точным числом дней (365/365);
2) обыкновенные (коммерческие) проценты с точной дли-тельностью ссуды (365/360);
3) обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).
Различия в способах подсчета дней могут показаться несуще-ственными, однако при больших суммах операций и высоких процентных ставках они достигают весьма приличных размеров. Предположим, что ссуда в размере 10 млн. руб. выдана 1 мая с возвратом 31 декабря этого года под 45 % годовых (простая про-центная ставка). Определим наращенную сумму этого кредита по каждому из трех способов. Табличное значение точной длитель-ности ссуды равно 244 дням (365 – 121); приближенная длитель-ность – 241 дню (6  30 + 30 + 30 + 1).
1) 10  (1 + 0,45  244/365) = 13,008 млн. руб.;
2) 10  (1 + 0,45  244/360) = 13,05 млн. руб.;
3) 10  (1 + 0,45  241/360) = 13,013 млн. руб.
Разница между наибольшей и наименьшей величинами
(13,05 – 13,008) означает, что должник будет вынужден заплатить дополнительно 42 тыс. рублей только за то, что согласился (или не обратил внимания) на применение второго способа начисле-ния процентов.
Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денежных по-ступлений (платежей), или дисконтирование. В ходе дисконтиро-вания по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая) стоимость P. В зависимости от того, какая именно ставка – про-стая процентная или простая учетная – применяется для дискон-тирования, различают два его вида: математическое дисконти-рование и банковский учет.
Метод банковского учета получил свое название от одно-именной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения. Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной це-ны (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконти-рование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стои-мость) векселя определяется по формуле
, (2.1.8)
где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель этого выражения (1 – (t/k )  d) называется дисконт-ным множителем банковского учета по простым процентам. Как правило, при банковском учете применяются обыкновенные про-центы с точной длительностью ссуды (второй вариант). Напри-мер, владелец векселя номиналом 25 тыс. руб. обратился в банк с предложением учесть его за 60 дней до наступления срока пога-шения. Банк согласен выполнить эту операцию по простой учет-ной ставке 35 % годовых: выкупная цена векселя
P = 25000(1 – 60/360  0,35) = 23541,7 руб.;
сумма дисконта
D = S – P = 25000 – 23541,7 = 1458,3 руб.
При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле
. (2.1.9)
Выражение 1/(1 + (t/k)i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам.
Этот метод применяется во всех остальных (кроме банковско-го учета) случаях, когда возникает необходимость определить современную величину суммы денег, которая будет получена в будущем. Например, покупатель обязуется оплатить поставщику стоимость закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 1 млн. руб. Уровень простой процентной ставки составляет 30 % годовых (обыкновенные проценты). Следовательно, теку-щая стоимость товаров будет равна
P = 1/(1 + 90/360  0,3) = 0,93 млн. руб.
Применив к этим условиям метод банковского учета, получим
P = 1(1 – 90/360  0,3) = 0,925 млн. руб.
Второй вариант оказывается более выгодным для кредитора. Следует помнить, что каких-то жестких требований выбора того либо иного метода выполнения финансовых расчетов не сущест-вует. Никто не может запретить участникам финансовой опера-ции выбрать в данной ситуации метод математического дискон-тирования или банковского учета. Существует, пожалуй, единст-венная закономерность – банками, как правило, выбирается ме-тод, более выгодный для кредитора (инвестора).
Основная область применения простых процентной и учетной ставок – краткосрочные финансовые операции, длительность ко-торых составляет менее 1 года. Вычисления с простыми ставками не учитывают возможности реинвестирования начисленных про-центов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S. В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность реин-вестирования процентов, так как в этом случае наращение произ-водится по формуле не арифметической, а геометрической про-грессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i)
P, P(1 + i), P(1 + i)2, P(1 + i)3, …, P(1 + i)n,
где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1).
Наращенная стоимость (последний член прогрессии) нахо-дится по формуле
, (2.1.10),
где (1 + i)n – множитель наращения декурсивных сложных про-центов.
С позиций финансового менеджмента использование слож-ных процентов более предпочтительно, так как признание воз-можности собственника в любой момент инвестировать свои средства с целью получения дохода – краеугольный камень всей финансовой теории. При использовании простых процентов эта возможность часто не учитывается, поэтому результаты вычис-лений получаются менее корректными. Тем не менее при кратко-срочных финансовых операциях по-прежнему широко применя-ются вычисления простых процентов. Некоторые математики считают это досадным пережитком, оставшимся с тех пор, когда у финансистов не было под рукой калькуляторов и они были вы-нуждены прибегать к более простым, хотя и менее точным спо-собам расчета. Представляется возможным и несколько иное объяснение данного факта. При длительности операций менее одного года (n < 1) начисление простых процентов обеспечивает получение результатов даже более выгодных для кредитора, чем использование сложных процентов. Выше уже отмечалась зако-номерность выбора банками именно таких, более выгодных для кредитора способов. Поэтому было бы наивно недооценивать вы-числительные мощности современных банков и интеллектуаль-ный потенциал их сотрудников, полагая, что они используют грубые методы расчетов только из-за их низкой трудоемкости. Трудно представить себе банкира, хотя бы на секунду забываю-щего о собственной выгоде.
Сама по себе сложная процентная ставка i ничем не отличает-ся от простой и рассчитывается по такой же формуле (2.1.1). Сложная учетная ставка определяется по формуле (2.1.2). Так же как и в случае простых процентов, возможно применение слож-ной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод)
(2.1.11)
где множитель перед Р – множитель наращения сложных антиси-пативных процентов.
Однако практическое применение такого способа наращения процентов весьма ограничено, скорее это из разряда финансовой экзотики.
Как уже отмечалось, наиболее широко сложные проценты применяются при анализе долгосрочных финансовых операций (n > 1). На большом промежутке времени в полной мере проявля-ется эффект реинвестирования, начисления «процентов на про-центы». В связи с этим вопрос измерения длительности операции и продолжительности года в днях в случае сложных процентов стоит менее остро. Как правило, неполное количество лет выра-жают дробным числом через количество месяцев (3/12 или 7/12), не вдаваясь в более точные подсчеты дней. Поэтому в формуле начисления сложных процентов число лет практически всегда обозначается буквой n, а не выражением t/K, как это принято для простых процентов. Наиболее щепетильные кредиторы, прини-мая во внимание большую эффективность простых процентов на коротких отрезках времени, используют смешанный порядок начисления процентов в случае, когда срок операции (ссуды) не равен целому числу лет: сложные проценты начисляются на пе-риод, измеренный целыми годами, а проценты за дробную часть срока – по простой процентной ставке
(2.1.12)
где a – число полных лет в составе продолжительности операции; t – число дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год; K –временная база.
В этом случае вновь возникает необходимость выполнения календарных вычислений по рассмотренным выше правилам. Например, ссуда в 3 млн. руб. выдается 1 января 1997 г. по 30 сентября 1999 г. под 28 % годовых (процентная ставка). В слу-чае начисления сложных процентов за весь срок пользования деньгами наращенная сумма составит
S = 3(1 + 0,28)^(2 + 9/12) = 5,915 млн. руб.
Если же использовать смешанный способ (например, коммер-ческие проценты с точным числом дней), то получим
S = 3(1 + 0,28)^2(1 + 272 / 360  0,28) = 6 млн. руб.
Таким образом, щепетильность кредитора в данном случае оказалась вовсе не излишней и была вознаграждена дополни-тельным доходом в сумме 85 тыс. руб.
Важная особенность сложных процентов – зависимость ко-нечного результата от количества начислений в течение года. Здесь опять сказывается влияние реинвестирования начисленных процентов: база начисления возрастает с каждым новым начис-лением, а не остается неизменной, как в случае простых процен-тов. Например, если начислять 20 % годовых 1 раз в год, то пер-воначальная сумма в 1 тыс. руб. возрастет к концу года до 1,2 тыс. руб. (1(1+ 0,2)). Если же начислять по 10 % каждые полгода, то будущая стоимость составит 1,21 тыс. руб. (1(1 + 0,1)(1 + 0,1)), при поквартальном начислении по 5 % она возрастет до 1,216 тыс. руб. По мере увеличения числа начислений (m) и про-должительности операции эта разница будет очень сильно увели-чиваться. Если разделить сумму начисленных процентов при ежеквартальном наращении на первоначальную сумму, то полу-чится 21,6 % (0,216/1  100), а не 20 %. Следовательно, сложная ставка 20 % при однократном и 20 % (четыре раза по 5 %) при поквартальном наращении приводят к различным результатам, т. е. не являются эквивалентными. Цифра 20 % отражает уже не действительную (эффективную), а номинальную ставку. Эф-фективной процентной ставкой считается значение 21,6 %. В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид
, (2.1.13)
Например, ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 2 года по но-минальной сложной процентной ставке 35 % годовых с начисле-нием процентов два раза в год. Будущая сумма к концу срока ссуды составит
S = 5(1 + 0,35/2)^(2  2) = 9,531 млн. руб.
При однократном начислении ее величина составила бы лишь 9,113 млн. руб. (5(1 + 0,35)^2; зато при ежемесячном начислении возвращать пришлось бы уже 9,968 млн. руб. (5  1 + (0,35/12)^
^(12  2)).
При начислении антисипативных сложных процентов, номи-нальная учетная ставка обозначается буквой f, а формула нара-щения принимает вид
. (2.1.14)
Выражение 1/ ^mn – множитель наращения по номи-нальной учетной ставке.
Дисконтирование по сложным процентам также может вы-полняться двумя способами – математическое дисконтирование и банковский учет. Последний менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной ставке, поэтому используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его формула имеет вид
, (2.1.15)
где (1 – d)n – дисконтный множитель банковского учета по слож-ной учетной ставке.
При m > 1 получаем
, (2.1.16)
где f – номинальная сложная учетная ставка; – дис-контный множитель банковского учета по сложной номинальной учетной ставке.
Более широко распространено математическое дисконтирова-ние по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем
, (2.1.17)
где 1/(1 + i)n – дисконтный множитель математического дискон-тирования по сложной процентной ставке.
При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид
, (2.1.18)
где j – номинальная сложная процентная ставка; 1/ – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.
Например, требуется определить современную стоимость платежа в размере 3 млн. руб., который должен поступить через 1,5 года. Процентная ставка составляет 40 %:
при m = 1 P = 3/(1 + 0,4)^1,5 = 1,811 млн. руб.;
при m = 2 (начисление 1 раз в полугодие) P = (3/(1 + 0,4/2)^
^(2  1,5) = 1,736 млн. руб.;
при m = 12 (ежемесячное начисление) P = (3/(1 + 0,4/12)^
^(12  1,5) = 1,663 млн. руб.
По мере увеличения числа начислений процентов в течение года (m) промежуток времени между двумя смежными начисле-ниями уменьшается – при m = 1 этот промежуток равен одному году, а при m = 12 – только 1 месяцу. Теоретически можно пред-ставить ситуацию, когда начисление сложных процентов произ-водится настолько часто, что общее его число в году стремится к бесконечности, тогда величина промежутка между отдельными начислениями будет приближаться к нулю, т. е. начисление ста-нет практически непрерывным. Такая, на первый взгляд гипоте-тическая ситуация имеет важное значение для финансов, поэтому при построении сложных аналитических моделей (например, при разработке масштабных инвестиционных проектов) часто приме-няют непрерывные проценты. Непрерывная процентная ставка (очевидно, что при непрерывном начислении речь может идти только о сложных процентах) обозначается буквой δ (читается «дельта»), часто этот показатель называют силой роста. Формула наращения по непрерывной процентной ставке имеет вид
, (2.1.19)
где e – основание натурального логарифма (≈ 2,71828...); edn – множитель наращения непрерывных процентов.
Например, на сколько возрастет через три года сумма 250 тыс. руб., если сегодня положить ее на банковский депозит под 15 % годовых, начисляемых непрерывно?
S = 250  e^(0,15  3) = 392,1 тыс. руб.
Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста – универ-сальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функ-ции). В этом случае можно строить очень мощные имитационные модели, однако математический аппарат расчета таких моделей достаточно сложен и не рассматривается в настоящем пособии, так же как и начисление процентов по переменной непрерывной процентной ставке.
Непрерывное дисконтирование с использованием постоянной силы роста выполняется по формуле
, (2.1.20)
где 1/edn – дисконтный множитель дисконтирования по силе роста.
Например, в результате осуществления инвестиционного про-екта планируется получить через два года доход в размере 15 млн. руб. Чему будет равна приведенная стоимость этих денег в сегодняшних условиях, если сила роста составляет 22 % годо-вых?
P = 15/e^(0,22  2) = 9,66 млн. руб

Powered by Drupal - Design by artinet